• Efeito Aharonov-Bohm: subdividindo um feixe de elétrons, ao recombinar os dois subfeixes conseguimos um padrão de interferência que depende do fluxo do campo magnético dentro de um solenóide, por onde os elétrons nunca passaram.
• Rotações e momento angular: começamos relembrando que rotações não comutam, e fazendo uma breve revisão da representação de rotações no espaço tridimensional, usando matrizes ortogonais 3×3.
• Definimos o momento angular na direção como o gerador das rotações em torno desse mesmo eixo. Da não-comutatividade das rotações, obtivemos as relações de comutação fundamentais do momento angular.
• Encontramos os operadores de rotação em torno do eixo z, para um spin 1/2. Vimos como o valor esperado de S_x muda sob rotações em torno do eixo z. Fizemos esse cálculo de duas formas diferentes, e a segunda nos mostra que o resultado se generaliza para qualquer espaço de Hilbert.
• Por último, vimos uma previsão curiosa da MQ: uma volta de radianos dá uma fase -1 ao estado quântico de um spin 1/2. Para voltarmos ao estado inicial, precisamos aplicar duas voltas completas, i.e. uma volta de radianos.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 3, páginas 40 e 41, e do capítulo 4, páginas 1 a 7.

Uma curiosidade. Existe, há anos, um jogo de construção de mundos (tipo um Lego virtual) chamado Minecraft, que é muito popular (mais de 30 milhões de downloads). Recentemente, a empresa Google se juntou com o Caltech para oferecer uma modificação desse jogo chamada qCraft. Essa modificação acrescenta propriedades análogas a certas características quânticas aos blocos já existentes - eles podem ter estados dependentes do observador, podem ficar em superposição e podem ser emaranhados (de certa forma). Esse mod do jogo pode levar muitas crianças a buscarem saber mais sobre MQ! Divulguem junto aos seus alunos, amigos ou irmãos mais novos.

• Efeito do campo gravitacional em feixes de nêutrons: o experimento de Colella, Overhauser e Werner (COW).
• Descrição de partícula carregada na MQ: Hamiltoniana, momento canônico e momento mecânico (ou cinemático).
• Vimos que a variação temporal do valor esperado da posição (e isso é observável) está relacionado ao momento mecânico, e não ao canônico.
• Encontramos o equivalente quântico da força de Lorentz.
• Vimos como o campo eletromagnético leva a uma modificação da equação de continuidade da densidade de probabilidade/fluxo de probabilidade.
• Vimos que a equação de Schrodinger é invariante por transformações de calibre nos campos, desde que acompanhados da transformação de calibre adequada também na função de onda.
• Vimos que o momento canônico p não é invariante de calibre, mas o momento mecânico, sim.

O que vimos corresponde às notas da aula do cap. 3, páginas 31 a 39.

A lista 6 já está disponível, mas não vai ser necessário entregá-la. Na quinta 31/10 não poderei dar aula, então a última aula de revisão antes da 2a prova será no dia 29/10. Tentem trabalhar nos problemas da lista 6, vou comentar os problemas das listas 5 e 6 nessa aula.

• Estados coerentes: discutimos a distribuição dos valores da energia (Poissoniana); mostramos que são o estado fundamental, transladado no espaço de fase. Vocês vão provar outras propriedades de estados coerentes na próxima lista.
• Potenciais e transformações de calibre: começamos a estudar como mudanças nos potenciais podem levar a mudanças na função de onda. O primeiro exemplo, mais simples, é a adição de uma constante ao potencial - vimos que leva ao surgimento de uma fase global na função de onda. Se um feixe de partículas é dividido e cada sub-feixe passa por uma região com potenciais diferentes, a fase ganha por cada subfeixe não é mais uma fase global e tem efeitos observáveis na interferência quando os feixes são recombinados.
• Discutimos brevemente a diferença entre massa inercial e massa gravitacional, e como os efeitos da gravidade podem ser observados em sistemas quânticos. Vimos que efeitos não triviais vão permitir medir a razão .

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 3, páginas 27 a 31. Alguns avisos: teremos aula extra na sexta-feira 25/11 às 14h, e nossa segunda prova será na sexta seguinte, 1/11 também às 14h.

• Oscilador Harmônico quântico: introdução dos operadores e para reescrever a Hamiltoniana como função do operador número .
• Encontramos o espectro do OH. Encontramos o estado fundamental, e uma forma de obtermos os estados excitados.
• Calculamos as variâncias de p e x, para o estado fundamental, o que foi fácil por causa da forma simples dos elementos de matriz dos operadores-escada.
• Estudamos a evolução temporal de x e p. As equações de Heisenberg se desacoplam se trabalhamos com os operadores-escada.
• Estados coerentes: impusemos que os valores esperados têm que seguir os de um OH clássico com condições iniciais arbitrárias, idem para a energia. Encontramos os estados coerentes, com essas propriedades: auto-estados do operador , com autovalor complexo que representa o estado inicial do OH clássico equivalente.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 3, páginas 16 a 25.

• Dinâmica quântica: vimos como superposições de auto-estados de energia têm os valores esperados de suas propriedades oscilando com frequência que depende das diferenças de energia dos auto-estados correspondentes.
• Precessão de spin 1/2: resolvemos o problema para o estado inicial sendo auto-estado de S_x.
• As duas descrições alternativas da dinâmica: descrição de Heisenberg e descrição de Schrodinger.
• Vimos como variam os observáveis, estados, autovetores de observáveis, nas duas descrições alternativas.
• Derivamos a equação de movimento para observáveis, na representação de Heisenberg.
• Provamos o teorema de Ehrenfest.
• Resolvemos a partícula livre, usando a representação de Heisenberg. Vimos como um pacote de onda se espalha ao se propagar livremente.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 3, páginas 4 a 13.

• Hoje discutimos desigualdades de Bell, na verdade a desigualdade CHSH. Discutimos as hipóteses para validade da desigualdade, como prová-la, e como a mecânica quântica a viola.
• Introdução à dinâmica quântica. Obtivemos a equação de Schrodinger, que é uma equação diferencial para o operador de evolução temporal. Obtivemos soluções formais para os casos em que a Hamiltoniana é independente de t, e para o caso em que H(t) comuta com H(t') para todo par t,t'.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 2 (páginas 1 a 4 sobre desigualdades de Bell), e cap. 3, páginas 1 a 4. Teremos aula extra nesta sexta-feira 11/10 às 10h, e nossa segunda prova será na sexta-feira 1/11 às 14h.

• Exemplos de operadores densidade para um sistema de spin 1/2.
• Começamos a discutir outro contexto em que é útil usarmos operadores densidade: na descrição de sistemas compostos.
• Vimos como montar uma base para o sistema composto, formada por produtos tensoriais de vetores-base de cada parte. Vimos qual a regra para obtermos os componentes do produto tensorial de dois vetores e de dois operadores.
• Vimos que nem todos os estados quânticos podem ser descritos como um produto tensorial de estados das partes. Os que não podem são chamados de estados emaranhados.
• Apresentei o protocolo de teletransporte quântico, que é uma aplicação de estados emaranhados.
• Descrevendo subsistemas: vimos como obter um operador densidade que descreve um subsistema, através da operação conhecida como traço parcial. Esse operador, para estados globais emaranhados, vai ser misto.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 2, páginas 8 a 12. A lista 4 já está disponível.

• Vimos as 3 propriedades que definem operadores densidade: hermiticidade, traço=1, não-negatividade. Vimos que uma condição equivalente à não-negatividade é a ausência de autovalores negativos.
• Propriedades do espectro do operador densidade: autovalores reais, não-negativos, entre zero e um, somando 1 - têm interpretação de probabilidades.
• O conjunto de operadores densidade é convexo, vimos geometricamente o que isso significa. Estados puros são estados que não têm decomposição convexa não-trivial, estados mistos têm. Existem infinitas maneiras diferentes de preparar ensembles descritos pela mesma matriz densidade mista.
• Vimos critérios para decidir se um operador densidade é puro ou misto.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 2, páginas 3 a 8.

As notas já estão disponíveis.

Hoje foi uma aula de tira-dúvidas e revisão, discutimos os problemas das listas 2 e 3. Na próxima quinta-feira, 26/9 teremos a nossa primeira prova. Talvez tenhamos um pouco mais que 2h de tempo de prova, aviso no início da prova.

• Discutimos um pouco os erros mais frequentes da 1a lista de exercícios, que devolvi, corrigida.
• Como generalizar nossa discussão de funções de onda no espaço dos momentos e das posições para partículas em 3D.
• Introdução ao formalismo do operador densidade. Adiantei que o formalismo será útil para a descrição de misturas estatísticas de estados puros, e também para a descrição de subsistemas de um sistema quântico composto.
• Começamos derivando uma fórmula alternativa para o valor esperado de um observável, dado em termos do observável e do projetor no estado do sistema, que também é um operador. Em seguida vimos como calcular o valor esperado numa situação em que a pessoa (ou fenômeno físico) que prepara os estados quânticos prepara uma mistura estatística, e não sempre o mesmo estado quântico puro. Mostramos que o valor esperado é simplesmente .

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 1, página 58, e do cap. 2, páginas 1 a 3. Preparei e disponibilizei uma 3a lista de exercícios que não precisa ser entregue.

• Revisamos a descrição de uma partícula na reta, usando a base de autoestados de posição, ou seja, usando funções de onda. Vimos como calcular elementos de matriz de observáveis que sejam funções de x.
• Estudamos a representação do operador momento na base de posições. Vimos como calcular elementos de matriz de operadores que sejam funções do momento, sempre na representação de posições.
• Definimos a função de onda no espaço dos momentos, e aprendemos a trabalhar com ela para calcular elementos de matriz de operadores que sejam funções do momento. Para isso, precisamos calcular a função de transformação entre as bases de posição e momento, que também tem a interpretação de função de onda que descreve um estado bem-definido de momento. Trata-se de uma onda plana.
• Vimos como transformar a função de onda no espaço das posições na função de onda no espaço dos momentos. Para isso, precisamos fazer a transformada de Fourier.
• Trabalhamos um exemplo: pacotes de onda Gaussianos. Calculamos os valores esperados de x, x^2, p, p^2, e obtivemos a função de onda no espaço dos momentos. Vimos que estados Gaussianos são estados de incerteza mínima, i.e. são estados que saturam a relação de incerteza generalizada para os operadores x e p.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 1, páginas 51 a 57.

• Translações: começamos a aula estudando algumas propriedades gerais da descrição quântica de transformações de estado que dependem de um parâmetro contínuo (exemplos: translações, rotações, evolução temporal). Vimos que tais transformações devem ser unitárias ou anti-unitárias (teorema de Wigner); e vimos que elas são sempre geradas por um operador Hermitiano, no sentido do operador da transformação poder ser escrito como , onde K é um operador Hermitiano e s é o parâmetro contínuo da família de transformações.
• Encontramos o comutador de x e do operador de translação infinitesimal, e daí encontramos o comutador de x e do operador K. Uma analogia com a mecânica clássica então sugere que o gerador das translações é o operador momento (dividido por ).
• Essa discussão sobre o operador de translações infinitesimais nos levou então à relação de comutação fundamental entre a posição e o momento.
• Discutimos brevemente os axiomas de teoria de grupos, e alguns exemplos de grupos.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 1, páginas 45 a 50.

• Mudança de base: vimos que sempre existe um operador unitário que leva os vetores de uma base ortonormal nos de outra base ortonormal. Operadores unitários satisfazem , sendo uma generalização das matrizes ortogonais de rotação.
• Vimos como achar os elementos de matriz do unitário U que leva uma base em outra - cada elemento é o produto interno de pares de vetores, um de cada base.
• Vimos também como transformar operadores, usando um operador unitário de mudança de base. A transformação feita é uma transformação de similaridade, que mantém os autovalores do operador. Observáveis relacionados por uma transformação assim são chamados de observáveis equivalentes. Um exemplo são os observáveis de um spin 1/2, por exemplo e .
• Como a transformação de similaridade não muda os autovalores, também não muda sua soma, que é o traço de um operador.
• Começamos a discutir estados de uma partícula unidimensional, descrita por uma função no espaço de Hilbert de dimensão infinita. Vimos as equivalências entre fórmulas para espaços de Hilbert discretos e o espaço contínuo (de dimensão infinita).
• Definimos os auto-estados de posição como a base que usaremos inicialmente para descrever estados. Postulamos que é uma base (completa), e que x,y e z comutam entre si, logo existe a nossa base de auto-estados simultâneos.
• Translações: começamos o estudo de translações vendo o que uma translação faz com auto-estados de posição.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 1, páginas 37 a 45.

• Definição de observáveis compatíveis: que comutam entre si. Para o caso de A não-degenerado, provamos que se [A,B]=0, os autovetores de A também são autovetores de B, e podemos construir uma base de autovetores simultâneos dos dois operadores. Isso também é verdade no caso degenerado (vejam as notas de aula para uma referência).
• Discutimos o que acontece em medidas sequenciais de observáveis compatíveis.
• Fizemos a mesma discussão para medidas sequenciais de observáveis incompatíveis, e vimos as diferenças.
• Relação de incerteza generalizada: provamos o teorema relacionando variâncias de 2 observáveis com a variância de seu comutador. Discutimos o significado disso, e alertei para interpretações heurísticas errôneas em termos de perturbações, etc.

O que vimos corresponde às notas de aula do Cap. 1, páginas 28 a 36.

• Postulado 3 (estado pós-medida): vimos que ele é projetado no autovetor associado ao resultado de medida obtido.
• Discutimos as duas propriedades que definem operadores de projeção, e vimos que somas de operadores de projeção também são operadores de projeção. Usamos isso para reformular o Postulado 3 para o caso de observáveis com espectro degenerado.
• Exemplos: spin 1/2. Usamos os postulados que estudamos, mais os resultados experimentais de 2 Stern-Gerlach em sequência, para deduzir os auto-estados dos operadores S_x e S_y em termos da base que escolhemos (de auto-estados de S_z). Vimos que os números complexos são inevitáveis nessa formulação natural da mecânica quântica que estamos estudando.
• Vimos como definir funções de um operador, usando a sua expansão em série de potências.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 1, páginas 22 a 27.

• Novo teorema sobre operadores Hermitianos: autovetores correspondentes a autovalores diferentes são ortogonais entre si.
• Em espaços de Hilbert discretos, podemos definir uma base completa para estados usando somente autovetores de um operador Hermitiano qualquer. Isso pode falhar se o espaço de Hilbert for de dimensão infinita, ou se considerarmos conjuntos de autovetores de operadores não-Hermitianos; vimos um exemplo explícito disso.
• Relação de completeza ou fechamento - definimos e usamos em várias situações. Provamos que os módulos ao quadrado dos coeficientes da expansão de qualquer estado em qualquer base deve somar 1. Definimos projetores, e aprendemos porque se chamam assim.
• Vimos como representar kets, bras, operadores e o produto escalar como operações com as matrizes que representam esses elementos em uma base arbitrária.
• Teorema importante: representação espectral de um operador.
• Exemplos: spin 1/2.
• Vimos o postulado 2 (das medidas), e vimos como calcular, em MQ, o valor médio dos resultados das medidas de um observável (chamamos isso, na mecânica quântica, do valor esperado do observável).

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 1, páginas 12 a 22.

• Começamos definindo um pouco mais de estrutura no nosso espaço vetorial complexo, que contém os vetores que descrevem estados físicos. Definimos as propriedades que queremos de um produto escalar, e mostramos como definir o produto escalar com essas propriedades para uso na MQ. Em seguida provamos a desigualdade de Schwarz, e mencionei que a desigualdade triangular pode ser provada com a desig. de Schwarz.
• Introduzimos o espaço vetorial dual ao espaço dos kets, que é o espaço dos bras (que são funcionais lineares dos kets). Vimos que existe um bra associado a cada ket, e que a associação é anti-linear.
• Vimos propriedades básicas de operadores, como definir o produto de dois operadores, etc. Vimos dois exemplos de operadores: operadores lineares em sistemas de dimensão finita (são representados por matrizes), e um operador linear diferencial que atua em espaços vetoriais de dimensão infinita (gerados por funções de uma variável).
• Vimos como operadores atuam no espaço dos bras, e usamos a associação entre bras e kets para definir o conjugado Hermitiado de um operador. Calculamos alguns conjugados Hermitianos, em particular atentem para o fato que , que provamos.
• Definimos o operador produto externo ket/bra, e obtivemos o seu conjugado Hermitiano.
• Provamos um teorema sobre operadores Hermitianos: todos os seus autovalores são reais.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 1, páginas 6, 35, e 7-12.

Bem-vindos ao curso de Mecânica Quântica 1! Essa teoria é um dos ápices intelectuais da humanidade, será um prazer compartilhar o que sei a respeito com vocês. Nessa primeira aula tivemos:

• Divulgação do calendário de provas, aulas extras e recesso;
• Uma visão preliminar da matéria que cobriremos;
• Descrevemos o experimento de Stern-Gerlach, e discutimos os resultados experimentais de experimentos de Stern-Gerlach em série. Isso serviu para lembrar/introduzir algumas das características fundamentais da mecânica quântica: medidas alteram o sistema, previsões probabilísticas, impossibilidade da determinação simultânea de certos pares de propriedades (que está por trás do Princípio da Incerteza, como veremos).
• Postulado 1: estados físicos são descritos por vetores num espaço vetorial complexo (de dimensão adequada ao sistema que queremos descrever), conhecido como espaço de Hilbert. Revisão de propriedades de espaços vetoriais, exemplos.
• Postulado 1'(correção do primeiro postulado): estados físicos são descritos por raios no espaço de Hilbert adequado. Fase global. Problema para casa: parametrização do estado de um sistema de dois níveis.

Esta demonstração online permite que você brinque com até 3 magnetos de Stern-Gerlach em série, como discutimos em sala, simulando os resultados de medidas do momento angular de um spin 1/2.

O que vimos corresponde às minhas notas de aula manuscritas do cap. 1, páginas 1 a 5, e 6b.